Знак пересекается

Обозначения и символика

Знак пересекается

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, … , L, М, N, …

1,2,3,4,…,12,13,14,…

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, … , l, m, n, …

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,…,ζ,η,ν,…

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d1 d2gα) — поверхность β определяется направляющими d1 и d2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC — угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, … , ∠φ°, …

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

Например:

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 и π2, где π1 – горизонтальная плоскость проекций;

π2 —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π3, π4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х – ось абсцисс; у – ось ординат; z – ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А', В', С', D', … , L', М', N', горизонтальные проекции точек; А”, В”, С”, D”, … , L”, М”, N”, … фронтальные проекции точек; a' , b' , c' , d' , …

, l', m' , n' , — горизонтальные проекции линий; а” ,b” , с” , d” , … , l” , m” , n” , … фронтальные проекции линий; α', β', γ', δ',…,ζ',η',ν',… горизонтальные проекции поверхностей; α”, β”, γ”, δ”,…

,ζ”,η”,ν”,… фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h0α – горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f0α – фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: Ha — горизонтальный след прямой (линии) а;

Fa — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,…, n:

А1, А2, А3,…,Аn;

a1, a2, a3,…,an;

α1, α2, α3,…,αn;

Ф1, Ф2, Ф3,…,Фn и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A0, B0, С0, D0, …

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

А0, В0, С0, D0, …

10, 20, 30, 40, …

a0, b0, c0, d0, …

α0, β0, γ0, δ0, …

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

А1 0, В1 0, С1 0, D1 0, …

11 0, 21 0, 31 0, 41 0, …

a1 0, b1 0, c1 0, d1 0, …

α1 0, β1 0, γ1 0, δ1 0, …

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор. Обозначение Пример символической записи
1Совпадают(АВ)≡(CD) — прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2Конгруентны ∠ABC≅∠MNK — угол АВС конгруентен углу MNK
3ПодобныΔАВС∼ΔMNK — треугольники АВС и MNK подобны
4||Параллельныα||β — плоскость α параллельна плоскости β
5Перпендикулярныа⊥b — прямые а и b перпендикулярны
6Скрещиваютсяс d — прямые с и d скрещиваются
7Касательныеt l — прямая t является касательной к линии l. βα — плоскость β касательная к поверхности α
8ОтображаютсяФ1→Ф2 — фигура Ф1 отображается на фигуру Ф2
9SЦентр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой,указывающей направление проецирования
10sНаправление проецирования
11PПараллельное проецированиерsα Параллельное проецирование — параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор. Обозначение Пример символической записи Пример символической записи в геометрии
1M,NМножества
2A,B,C,…Элементы множества
3{ … }Состоит из …Ф{A, B, C,… }Ф{A, B, C,… } — фигура Ф состоит из точек А, В,С, …
4Пустое множествоL — ∅ — множество L пустое (не содержит элементов )
5Принадлежит, является элементом2∈N (где N — множество натуральных чисел) — число 2 принадлежит множеству NА ∈ а — точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а )
6Включает, cодержитN⊂М — множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисела⊂α — прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7ОбъединениеС = A U В — множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}ABCD = [AB] ∪ [ВС] ∪ [CD] — ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС], [CD]
8Пересечение множеств М=К∩L — множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅— пересечение множеств М и N есть пустое множество(множества М и N не имеют общих элементов)а = α ∩ β — прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ — прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор. Обозначение Пример символической записи
1Конъюнкция предложений; соответствует союзу “и”.Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинныα∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2Дизъюнкция предложений; соответствует союзу “или”. Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).
3Импликация — логическое следствие. Предложение р⇒q означает: “если р, то и q”(а||с∧b||с)⇒a||b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4Предложение (р⇔q) понимается в смысле: “если р, то и q; если q, то и р”А∈α⇔А∈l⊂α.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии,принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: “для всякого x: имеет место свойство Р(х) “∀( ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: “существует х, обладающее свойством Р(х)”(∀α)(∃a)[a⊄α∧a||α].Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7 ∃1Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)… Выражение ∃1(x)(Рх) означает: “существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх”(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8(Px)Отрицание высказывания P(x)аb(∃α)(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9\Отрицание знака[AB]≠[CD] —отрезок [АВ] не равен отрезку [CD].а?b — линия а не параллельна линии b

Источник: http://nachert.ru/course/?lesson=1

Символьные обозначения | Начертательная геометрия

Знак пересекается

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между геометрическими фигурами, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем используются символьные обозначения.

Символьные обозначения, все их многообразие, может быть подразделено на две группы:- Первая группа – обозначения геометрических фигур и отношения между ними;

– Вторая группа – обозначения логических операций, составляющая синтаксическую основу геометрического языка.

Символьные обозначения – Первая группа

Символы, обозначающие геометрические фигуры и отношения между ними

Обозначения геометрических фигур:Φ – геометрическая фигура;A, B, C, D, …, L, M, N, … – точки расположенные в пространстве;1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14, … – точки расположенные в пространстве;a, b, c, d, …, l, m, n, …

– линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций;h, υ(f), ω – линии уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая соответственно);(AB) – прямая проходящая через точки A и B;[AB) – луч с началом в точке A;[AB] – отрезок прямой, ограниченный точками A и B;α, β, γ, δ, …

, ζ, η, θ – поверхность;∠ABC – угол с вершиной в точке B;∠α, ∠β, ∠γ – угол α, угол β, угол γ соответственно;|AB| – расстояние от точки A до точки B (длина отрезка AB);|Aa| – расстояние от точки A до линии a;|Aα| – расстояние от точки A до поверхности α;|ab| – расстояние между прямыми a и b;|αβ| – расстояние между поверхностями α и β;H, V, W – координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно);

П1, П2, П3 – координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно);

x, y, z – координатные оси проекций (ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат);

ko – постоянная прямая эпюра Монжа;

O – точка пересечения осей проекций;`, “, `” – верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно);1, 2, 3 – верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно);

αH, αV, αW – след поверхности оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно;

αH, αV, αW – след поверхности α оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно;
aH, aV, aW – след прямой a оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно;

Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса A`, A”, A`” или 1`, 1″, 1`”, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: A`, B`, C`, D`, …, L`, M`, N`, …

– горизонтальные проекции точек; A”, B”, C”, D”, …, L”, M”, N”, … – фронтальные проекции точек; A`”, B`”, C`”, D`”, …, L`”, M`”, N`”, … – профильные проекции точек; a`, b`, c`, d`, …, l`, m`, n`, … – горизонтальные проекции линий; a”, b”, c”, d”, …, l”, m”, n”, …

– фронтальные проекции линий; a`”, b`”, c`”, d`”, …, l`”, m`”, n`”, … – профильные проекции линий; α`, β`, γ`, δ`, …, ζ`, η`, θ`, … – горизонтальные проекции поверхностей; α”, β”, γ”, δ”, …, ζ”, η”, θ”, … – фронтальные проекции поверхностей; α`”, β`”, γ`”, δ`”, …, ζ`”, η`”, θ`”, …

– профильные проекции поверхностей;

Символы взаиморасположения геометрических объектов

Обозначение   Смысловое значение   Пример символической записи
  (…)   способ задания геометрического объекта в пространстве и на комплексном чертеже   А(А`, А”) – точка А задана на комплексном чертеже горизонтальной и фронтальной проекциями; α(А, b) – плоскость α задана прямой b и точкой А.
  ∈ ⊂ , ⊃   принадлежность   А∈l – точка А принадлежит прямой l; l⊂α – прямая l лежит в плоскости α
  ≡   совпадение   А`≡ В` – горизонтальные проекции точек А и В совпадают.
  ‖ , //   параллельность   a // b – прямые a и b параллельны.
  ⊥   перпендикулярность   c⊥d – прямые c и d перпендикулярны.
  ∸   скрещивание    m ∸ n – прямые m и n скрещивающиеся.
   ∩   пересечение   k ∩ l – прямые k и l пересекаются.
   ∾   подобие   ΔАВС ~ ΔDEF – треугольники ABC и DEF подобны.
   ≅   конгруэнтность   ΔАВС ≅ /АВ/ = /CD/ – отрезки АВ и CD равны.
   =    равенство, результат действия   /АВ/ = /CD/ – длины отрезков AB и CD равны; k ∩ l = M – прямые k и l пересекаются в точке M.
   /   отрицание   А ∉ l – точка А не принадлежит прямой l.
   → ←   отображение, преобразование   V/H → V1/H– система ортогональных плоскостей V/H преобразуется в систему плоскостей V1/H

Символьные обозначения – Вторая группа

https://www.youtube.com/watch?v=TbUhBmEOovw

Символы обозначающие логические операции

   ∧   конъюнкция предложений (соответствует союзу «и»)   K ∈ a ∧ K ∈ d – точка K принадлежит прямым a и d
   ∨   дизъюнкция предложений (соответствует союзу «или»)   А ∈ α ∨ A ∉ α – точка А принадлежит плоскости α или точка А не принадлежит плоскости α.
   ⇒ ⇐   логическое следствие – импликация (следовательно, поэтому)    a // b ∧ c // b ⇒ a // c – прямые а и с параллельны прямой b, следовательно, они параллельны между собой.
   ⇔   логическая эквивалентность (что то же самое) A ∈ l ⇔ A` ∈ l`, A” ∈ l” – точка А принадлежит прямой l, следовательно, ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой; справедливо и обратное утверждение: проекции точки А лежат на одноименных проекциях прямой l, следовательно, точка принадлежит этой прямой.

+

Источник: https://ngeo.fxyz.ru/%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F/

Знаки, обозначающие взаимное расположение объектов

Знак пересекается

⊥ – знак перпендикулярности;

|| – знак параллельности;

– знак совпадения (тождества);

– знак пересечения двух геометрических элементов;

= – знак результата геометрического построения;

∠ – знак угла;

– знак прямого угла;

Δ – знак треугольника;

∈ – знак принадлежности одного геометрического элемента другому;

A ∈ (ВС) – точка А принадлежит прямой ВС;

С – знак включения, А Н – прямая А принадлежит плоскости Н;

∩ – знак пересечения, АН – прямая А пересекает плоскость Н;

=> – импликация – логическое следствие; означает «если, то …».

ТОЧКА

Метод проекций

В основе правил построения изображений лежит метод проекций. Суть метода заключается в том, что каждой точке трехмерного пространства соответствует определенная точка двухмерного пространства плоскости. Изучение его начинают с построений проекций точки, т. к.

любой геометрический объект может рассматриваться как множество точек, заданных по определенному закону. Этот геометрический объект отображается на плоскость по закону проецирования. Процесс отображения называется проецированием.

Результатом такого отображения является изображение объекта, которое называется проекцией.

Для построения проекции геометрического объекта задают аппарат проецирования, в который входит объект проецирования,например, точка Аплоскость проецирования Р (иногда ее называют картинной плоскостью), не проходящая через точку А (рис.

1).Для получения изображения точки А на плоскость Р через нее проводят проецирующий луч до его пересечения с плоскостью Р в точке а. Полученную точку а называют проекцией точки А. Проекция (лат. projectio – выбрасывание вперед).

Рис. 1. Проецирование точки А

Виды проецирования

  1. Центральное проецирование

Задан аппарат проецирования: центр проекций S, плоскость проецирования Р.

В результате центрального проецирования на плоскости Р получится центральная проекция любого геометрического объекта. На рис. 2 показано построение центральной проекции отрезка АВ. Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении.

Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой S (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета.

Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Свойства центральных проекций:

– проекция точки – точка;

– проекция прямой – прямая;

– если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

2. Параллельное проецирование – частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования бесконечно удален. Поэтому в аппарат проецирования входит: направление проецирования S и плоскость проецирования Р. При этом проецирующие лучи рассматривают как прямые, параллельные между собой и параллельные заданному направлению проецирования S (рис. 3).

Рис. 2. Центральное проецирование отрезка АВ

Рис. 3. Параллельное проецирование:

а – косоугольное отрезка АВ; б – ортогональное точки А

В зависимости от направления проецирования параллельные проекции могу быть:

ортогональными (прямоугольными) проекциями – проекционные лучи падают перпендикулярно к картинной плоскости Р (рис. 3б);

косоугольная проекция – проекционные лучи падают не перпендикулярно к картинной плоскости Р (рис. 3а).

Свойства параллельных проекций:

– проекция точки – точка;

– проекция прямой – прямая;

– если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции этой же прямой;

– проекции параллельных прямых параллельны;

– отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием:

– простота построений изображения геометрического объекта;

– точность – сохранение точных форм и размеров проецируемой фигуры на чертеже;

– наглядность –чертеж должен создавать пространственное представление о форме геометрического объекта;

обратимость – возможностьвосстановления оригинала по проекционным изображениям геометрического объекта.



Источник: https://infopedia.su/14x1252.html

Пересечение и объединение множеств

Знак пересекается

В результате математических операций над множествами из исходных множеств получается новое множество, причем этот результат однозначен. Примерами таких операций являются пересечение и объединение множеств. Эти операции производятся по определенным правилам, о которых пойдет речь ниже.

Определение 1

Объединение двух множеств представляет собой совокупность таких элементов, что каждый из них является элементом одного из исходных множеств. Пересечение же множеств состоит из всех элементов, общих для исходных множеств.

Обозначения множеств. Знаки объединения и пересечения множеств

Для обозначения множеств применяется специальная система символов. Самый простой способ описать множество – использование фигурных скобок, внутри которых элементы перечисляются через запятую:

$A = \{0, -1, 2, 5, 8, 77\}$

Недостатком такой записи является то, что с ее помощью задать множество можно только если оно содержит конечное и не слишком большое количество элементов. Поэтому чаще используется универсальный способ определения множеств – с помощью характеристического свойства, т.е. такого, которое присуще всем его элементам множества, и которым не обладают объекты вне множества:

$A = \{x \vee P(x)\}$,

где $P(x)$ — характеристическое свойство.

В такой форме объединение записывается как

$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$,

а пересечение как

$A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B\}$

Знаки $\vee$ и $\wedge$ обозначают, соответственно, “или” и “и”. Знак $|$ читается как “таких, что”.

Для обозначения множеств как числовых интервалов используются круглые и квадратные скобки. Например, запись $[4, 24)$ означает, диапазон чисел от $4$ до $24$, причем число $4$ в это множество входит, а $24$ нет, хотя любое число меньше $24$ этому множеству принадлежит.

Для графического выражения операций пересечения и объединения применяются знаки пересечения и объединения множеств:

  • $A \cup B$ – объединение множеств $A$ и $B$$;;
  • $A \cap B$ – пересечение множеств $A$ и $B$$..

Для мнемонического запоминания этих знаков можно представить, что знак объединения $\cup$ похож на емкость с открытым верхом, куда можно что-то складывать. Знак пересечения $\cap$, напротив, представляет собой как бы перевернутый стакан, препятствующий проникновению внутрь неподходящих элементов.

Правила нахождения пересечений и объединений

Правила для нахождения пересечений и объединений множеств заключаются в следующем:

  • для составления объединения числовых множеств нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из остальных;
  • для составления пересечения числовых множеств, надо последовательно брать элементы одного множества и проверять, принадлежат ли они другим исследуемым множествам; те, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Найдем объединение числовых множеств $A = \{3, 5, 7, 14\}$ и $B = \{2, 5, 8, 11, 12, 13\}$. К элементам множества $A$ $3, 5, 7, 14$ добавляем недостающие элементы множества $B$ $2, 8, 11, 13$. Результирующее множество будет выглядеть как $\{3, 5, 7, 14, 2, 8, 11, 13\}$. Это можно записать как

$A ∪ B = \{2, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 14\}$.

Для нахождения пересечения этих же множеств, последовательно проверим элементы $A$ на их наличие внутри $B$. Так, элемент $3$ не принадлежит множеству $B$, значит он не войдет в состав пересечения.

Число $5$ из $A$ принадлежит и $B$, а значит и пересечению.Число $7$ не принадлежит $B$ и пересечению, а число 14 принадлежит.

Таким образом, пересечение $A = \{3, 5, 7, 14\}$ и $B = \{2, 5, 8, 11, 14, 13\}$ состоит из элементов $5$ и $14$. Это записывается как:

$A ∩ B = \{5, 14\}$.

Пересечение и объединение большего, чем 2 количества множеств сводится к последовательному нахождению пересечений и объединений: чтобы найти пересечение трех множеств $A$, $B$ и $C$ сначала находят пересечение $A$ и $B$, затем пересечение результирующего множества с $C$. Так, пересечение числовых множеств $A = \{3, 6, 4, 3, 55, 21\}$, $B = \{2, 7, 6, 21\}$ и $C = \{7, 6, 17, 3\}$ можно найти поэтапно. Сначала находим, что $A \cap B = \{6, 21\}$, затем полученное множество сравниваем с $C$ (это ${6}$). Получаем, что

$A \cap B \cap C = \{6\}$.

Метод нахождения объединений более двух множеств заключается в том, что к числам первого множества добавляют недостающие элементы из второго, затем недостающие из третьего и т.д.

Например, если есть $A = \{1, 4\}$, $B = \{4, 3\}$ и $C = \{1, 3, 6, 7\}$, то к числам $1$ и $4$ из $A$ следует добавить число $3$ из $B$, а к полученному множеству ${1, 3, 4}$ нужно добавить $6$ и $7$ из $C$.

В результате получаем объединение

$A \cup B \cup C = \{1, 3, 4, 6, 7\}$.

Для нахождения пересечения нескольких конечных множеств, нужно перебрать числа первого из них и выяснить, принадлежит ли текущий элемент каждому из рассматриваемых множеств. Если это условие не соблюдается, он не принадлежит пересечению. В качестве проверочного (элементы которого перебираются) следует выбирать множество с наименьшим числом элементов.

Рассмотрим множества $A = \{1, 3, 7, 12, 5, 2\}$, $B = \{0, 1, 2, 12\}$, $C = \{1, 2, 6, 7, 11\}$ и $D = \{1, 2, 6, 7, 8, 15\}$. Для поиска перебором задействуем $B$ как самое короткое. Элемент множества $B$ $0$ не входит в состав $A$, следовательно, в состав пересечения не войдет.

Число $1$ входит в состав $A$, $C$ и $D$. Оно входит в состав их общего пересечения. Число $2$, принадлежащее $B$, входит в состав всех остальных множеств, т.е. входит в состав пересечения. Четвертый элемент проверяемого множества $12$ не входит в состав $D$ и в пересечение не войдет.

Таким образом, найденное пересечение выглядит как

$A \cap B \cap C \cap D = \{1, 2\}$.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча.

Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$.

Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) \cup \{36,6\} \cup (36,6, +∞)$.

Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым.

Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой.

Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как

$(−∞, 36,6] \cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) \cup [36,6, +∞)$.

Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей).

Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ \{14\} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] \cup (14, 51]$, $(5, 14) \cup [14, 51]$.

Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества $\{51\}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) \cup \{51\}$.

Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ \{−6\} ∪ (−6, 0) ∪ \{0\} ∪ (0, 7) ∪ \{7\} ∪ (7, +∞)$.

С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.

На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения – полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки – сплошной точкой, невхождение – полой.

Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.

Пример 1

Найти пересечение и объединение множеств $A = [-3, 4)$ и $B = [0, 7)$ .

Для решения применим графический метод:

Рисунок 1. Графическое решение задачи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видно, что объединение множеств представляет собой диапазон от крайней левой точки $-3$ включительно до крайней правой $7$ исключая ее. Пересечение множеств начинается от числа $0$. Оно входит в оба множества и ограничивает пересечение слева. Правой границей пересечения является $4$, но оно не входит в первое множество, поэтому здесь граница интервала будет открытой.

Ответ:

$A \cap B = [0, 4); A \cup B = [-3, 7); $

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/peresechenie_i_obedinenie_mnozhestv/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.